Question

9．已知各项都为整数的数列{a_n}中，a₁=2，且对任意的n∈N^*，满足a_n+1-a_n＜2ⁿ+$\frac{1}{2}$，a_n+2-a_n＞3×2ⁿ-1，则a₂₀₁₉被3除所得余数为2．

Answer 1

分析 ${a_{n+1}}-{a_n}＜{2^n}+\frac{1}{2}$，可得${a_{n+2}}-{a_{n+1}}＜{2^{n+1}}+\frac{1}{2}$，两式左右两边分别相加得a_n+2-a_n＜3×2ⁿ+1，又${a_{n+2}}-{a_n}＞3×{2^n}-1$，且n∈N^*，可得${a_{n+2}}-{a_n}=3×{2^n}$，从而a₂₀₁₉=（a₂₀₁₉-a₂₀₁₇）+（a₂₀₁₇-a₂₀₁₅）…+（a₃-a₁）+a₁=2²⁰¹⁹=（3-1）²⁰¹⁹，利用二项式定理展开即可得出．

解答 解：${a_{n+1}}-{a_n}＜{2^n}+\frac{1}{2}$，所以${a_{n+2}}-{a_{n+1}}＜{2^{n+1}}+\frac{1}{2}$，
两式左右两边分别相加得a_n+2-a_n＜3×2ⁿ+1，
又${a_{n+2}}-{a_n}＞3×{2^n}-1$，且n∈N^*，
所以${a_{n+2}}-{a_n}=3×{2^n}$，
从而a₂₀₁₉=（a₂₀₁₉-a₂₀₁₇）+（a₂₀₁₇-a₂₀₁₅）…+（a₃-a₁）+a₁
=3（2²⁰¹⁷+2²⁰¹⁵+…+2）+2=$3×2×\frac{{4}^{1009}-1}{4-1}$+2=2²⁰¹⁹=（3-1）²⁰¹⁹=${3}^{2019}-{∁}_{2019}^{1}{3}^{2018}$+…+${∁}_{2019}^{2018}$•3-1
=3（3²⁰¹⁸-2019×3²⁰¹⁷+…）-3+2，
所以a₂₀₁₉被3除所得余数为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、二项式定理的应用、整除的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．