Question

5．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，又sinα=$\frac{3}{5}$，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，则sinβ=（　　）

• A． 0
• B． $\frac{24}{25}$
• C． $\frac{16}{25}$
• D． $\frac{24}{25}$或$\frac{16}{25}$

Answer 1

分析 由已知分别求出cosα、sin（α+β）的值，然后利用“拆角配角”的方法分类求出sinβ，则答案可求．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，sinα=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}=\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}=\frac{4}{5}$．
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，∴$\frac{π}{2}$＜α+β＜$\frac{3π}{2}$．
又cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（α+β）=$±\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}=±\frac{3}{5}$．
若sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，则sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}-（-\frac{4}{5}）×\frac{3}{5}=\frac{24}{25}$；
若sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，则sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$（-\frac{3}{5}）×\frac{4}{5}-（-\frac{4}{5}）×\frac{3}{5}$=0（舍）．
∴sinβ=$\frac{24}{25}$．
故选：B．

点评 本题考查两角和与差的正弦，体现了分类讨论的数学思想方法，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．