Question

【题目】在四棱锥中，平面 平面，底面为梯形，，且

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；

（Ⅲ）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）； （Ⅲ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）利用平面和平面垂直得到线面垂直；

（Ⅱ）利用空间向量求解法向量，从而计算出二面角；

（Ⅲ）利用反证法或者向量求解.

（Ⅰ）在平面中过点作，交于

因为平面平面

平面

平面平面

所以平面

因为平面

所以

又，且

所以平面

（Ⅱ）因为平面，所以

又，

以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系

所以，

因为平面，所以取平面的法向量为

设平面的法向量为

因为，所以

所以

令 ，则 ，所以

所以

由题知为锐角，所以的余弦值为

（Ⅲ）

法一：

假设棱上存在点，使得，显然与点不同

所以四点共面于

所以 ，

所以 ，

所以就是点确定的平面，所以

这与为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证

法二：

假设棱上存在点，使得

连接，取其中点

在中，因为分别为的中点，所以

因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以与重合

所以点在线段上，所以是，的交点，即就是

而与相交，矛盾，所以假设错误，问题得证

法三：假设棱上存在点，使得，

设，所以

因为，所以

所以有，这个方程组无解

所以假设错误，即问题得证