Question

【题目】已知，.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）当时，若对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）将代入，可得函数解析式，再代入可得切点坐标；求得导函数，并由导数的几何意义求得切线斜率，进而得切线方程.

（2）将所给方程变形可得；可得在内的单调性，进而求得值域，即可求得的值域；构造函数，求得，由定义域及分类讨论的单调情况，并求得最值即可求得符合题意的的取值范围.

（1）当时，，

；所以切点坐标为，

而，

所以；

∴切线方程为.

化简可得.

（2），所以，

对于，在上单调递减，上单调递增，

∴时，，或2时，，

∴当时，.

令，

对任意的，都存在，成立，

所以的值域是的子集，

，

①时，在上单调递增，

∴，，解得.

②时，在上单调递减，上单调递增，

∵，恒成立，

下面证明恒成立.

令，，解得.

∴在上单调递增，

恒成立，

∴.

③时，在单调递减，

∴，，

解得.

综上所述.