Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为，其左焦点在直线上.

（1）若直线与椭圆交于两点，求的值；

（2）求椭圆的内接矩形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）将参数方程化为直角坐标方程可得F的坐标为（，0），联立直线的参数方程与椭圆方程，结合参数的几何意义计算可得．

（2）结合椭圆方程，设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为（，4sinθ）（），据此可得内接矩形关于的面积函数，结合三角函数的性质即可确定面积S取得最大值.

（1）将代入ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，

得x2＋3y2＝48，即，

因为c2＝48－16＝32，所以F的坐标为（，0），

又因为F在直线l上，所以．

把直线l的参数方程代入x2＋3y2＝48，

化简得t2－4t－8＝0，所以t1＋t2＝4，t1t2＝－8，

所以．

（2）由椭圆C的方程，可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为（，4sinθ）（），

所以内接矩形的面积，

当时，面积S取得最大值．