Question

【题目】已知函数。

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数，讨论函数的单调性；

（3）若（2）中函数有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，g（x）的单调递增区间为，单调递减区间为;当时，g（x）的单调递增区间为,,单调递减区间为;当时，g（x）的单调递增区间为，无单调递减区间；

【解析】

试题分析：（1）求切线方程，求出导数，计算为切线斜率，由点斜式写出切线方程；（2）求出导数，函数定义域为，只要研究分子二次式的正负可得的单调区间，首先由判别式确定二次方程的根的情形，在时注意两根与的关系，分类时要不重不漏；（3）由（2）可知，，，因此下面只要求得此式的最小值即可得范围．

试题解析：（1）f（x）的定义域为，且，又a=2,的

而f（1）=-1,所以f（x）在（1，-1）处的切线方程为y=-1

，

当时，g（x）的单调递增区间为，单调递减区间为;

当时，g（x）的单调递增区间为,,单调递减区间为;

当时，g（x）的单调递增区间为，无单调递减区间

（3）由第（2）问知，函数g（x）有两个极值点，则，且，

又因为，所以，，因为

于是设，（），则有

，因为，所以，且2lnx<0,得,

即h（x）在单调递减，所以，得m的范围为