【题目】已知某种商品每日的销售量y(单位:吨)与销售价格x(单位:万元/吨,1<x≤5)满足:当1<x≤3时,y=a(x﹣4)2 +(a为常数);当3<x≤5时,y=kx+7(k<0),已知当销售价格为3万元/吨时,每日可售出该商品4吨,且销售价格x∈(3,5]变化时,销售量最低为2吨.
(1)求a,k的值,并确定y关于x的函数解析式;
(2)若该商品的销售成本为1万元/吨,试确定销售价格x的值,使得每日销售该商品所获利润最大.
【答案】(1),
;
(2)x=2万元/吨时,每日销售该商品所获利润最大.
【解析】
试题分析:(1)根据已知给出的表达式,由条件“销售价格为3万元/吨时,每日可售出该商品4吨,且销售价格x∈(3,5]变化时,销售量最低为2吨”,可求得,从而函数解析式,注意解析式是分段函数;
(2)由(1)中所得销售量乘以可得利润,当1<x≤3时,利润为
,利用导数的知识可求得此时的最大值,当3<x≤5时,每日销售利润f(x)=(﹣x+7)(x﹣1)=﹣x2+8x﹣7,由二次函数的性质可求得此时的最大值,两者比较可得最大值.
试题解析:(1)因为x=3时,y=4;所以a+3=4,得a=1
当3<x≤5时,y=kx+7(k<0)在区间(3,5]单调递减,当x=5时,ymin=5k+7
因为销售价格x∈(3,5]变化时,销售量最低为2吨,所以5k+7=2,得k=﹣1
故.
(2)由(1)知,当1<x≤3时,
每日销售利润=x3﹣9x2+24x﹣10(1<x≤3)
f'(x)=3x2﹣18x+24. 令f'(x)=3x2﹣18x+24>0,解得x>4或x<2
所以f(x)在[1,2]单调递增,在[2,3]单调递减
所以当x=2,f(x)max=f(2)=10,
当3<x≤5时,每日销售利润f(x)=(﹣x+7)(x﹣1)=﹣x2+8x﹣7=﹣(x﹣4)2+9
f(x)在x=4时有最大值,且f(x)max=f(4)=9<f(2)
综上,销售价格x=2万元/吨时,每日销售该商品所获利润最大.
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【题目】已知在三棱锥中,
分别是
的中点,
都是正三角形,
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的平面角的余弦值;
(3)若点在一个表面积为
的球面上,求
的边长.
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【题目】已知函数。
(1)当时,求函数
在点
处的切线方程;
(2)若函数,讨论函数
的单调性;
(3)若(2)中函数有两个极值点
,且不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
直线与椭圆
的一个交点为
,点
是椭圆
上的任意—点,延长
交椭圆
于点
,连接
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的内切圆的最大周长.
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【题目】机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.
(Ⅰ)写出y与x之间的函数关系式;
(Ⅱ)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值);
(Ⅲ)使用若干年后,对机床的处理方案有两种:
(1)当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床;
(2)当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床.
请你研究一下哪种方案处理较为合理?请说明理由.
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【题目】“健步走”是一种方便而又有效的锻炼方式,李老师每天坚持“健步走”,并用计步器进行统计.他最近8天“健步走”步数的条形统计图及相应的消耗能量数据表如下:
(1)求李老师这8天“健步走”步数的平均数;
(2)从步数为16千步,17千步,18千步的6天中任选2天,设李老师这2天通过“健步走”消耗的能量和为,求
的分布列及数学期望.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.圆锥的底面是圆面,侧面是曲面
B.用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥
C.一个物体上、下两个面是相等的圆面,那么它一定是一个圆柱
D.圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交
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