Question

【题目】已知某种商品每日的销售量y（单位：吨）与销售价格x（单位：万元/吨，1＜x≤5）满足：当1＜x≤3时，y=a（x﹣4）2 +（a为常数）；当3＜x≤5时，y=kx+7（k＜0），已知当销售价格为3万元/吨时，每日可售出该商品4吨，且销售价格x∈（3，5]变化时，销售量最低为2吨．

（1）求a，k的值，并确定y关于x的函数解析式；

（2）若该商品的销售成本为1万元/吨，试确定销售价格x的值，使得每日销售该商品所获利润最大．

Answer 1

【答案】（1），；

（2）x=2万元/吨时，每日销售该商品所获利润最大．

【解析】

试题分析：（1）根据已知给出的表达式，由条件“销售价格为3万元/吨时，每日可售出该商品4吨，且销售价格x∈（3，5]变化时，销售量最低为2吨”，可求得，从而函数解析式，注意解析式是分段函数；

（2）由（1）中所得销售量乘以可得利润，当1＜x≤3时，利润为

，利用导数的知识可求得此时的最大值，当3＜x≤5时，每日销售利润f（x）=（﹣x+7）（x﹣1）=﹣x2+8x﹣7，由二次函数的性质可求得此时的最大值，两者比较可得最大值．

试题解析：（1）因为x=3时，y=4；所以a+3=4，得a=1

当3＜x≤5时，y=kx+7（k＜0）在区间（3，5]单调递减，当x=5时，ymin=5k+7

因为销售价格x∈（3，5]变化时，销售量最低为2吨，所以5k+7=2，得k=﹣1

故．

（2）由（1）知，当1＜x≤3时，

每日销售利润=x3﹣9x2+24x﹣10（1＜x≤3）

f'（x）=3x2﹣18x+24. 令f'（x）=3x2﹣18x+24＞0，解得x＞4或x＜2

所以f（x）在[1，2]单调递增，在[2，3]单调递减

所以当x=2，f（x）max=f（2）=10，

当3＜x≤5时，每日销售利润f（x）=（﹣x+7）（x﹣1）=﹣x2+8x﹣7=﹣（x﹣4）2+9

f（x）在x=4时有最大值，且f（x）max=f（4）=9＜f（2）

综上，销售价格x=2万元/吨时，每日销售该商品所获利润最大．