Question

【题目】已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，求在区间 上的最小值；

（3）若函数有两个极值点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，最小值为；当时，最小值为（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）要求曲线在某点处的切线方程，只要求出导数，计算出斜率，即可写出切线方程；（2）要求最小值，先确定函数在上的单调性，由单调性可确定极小值与最小值；（3）要证明此不等式，先把表示出来，为此可求得，因此有两个不等实根，同样利用导数的性质研究的单调性，得只有时，才符合题意，又，，，

先证，即证，即证，这样只要设（不妨设，），即要证证，设，因此下面研究函数的单调性与最大值，可完成证明．

试题解析：（1）当时，，所以曲线在点处的切线方程为

（2），，

当时，在增，最小值为；当时，在减，增，最小值为．

（3），，函数有两个相异的极值点，即有两个不同的实数根．

①当时，单调递增，不可能有两个不同的实根；

②当时，设，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

∴，∴，

不妨设，∵，

∴

先证，即证，即证，

令，即证，设，则，函数在单调递减，∴，∴，又，∴，

∴