Question

【题目】已知在三棱锥中，分别是的中点，都是正三角形，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值；

（3）若点在一个表面积为的球面上，求的边长.

Answer 1

【答案】(1)证明过程见解析；（2）（3）.

【解析】试题分析：（1）连接，由，是正三角形且，为、的中点可得，可得①，由已知易证面，从而可得，利用线面垂直的判定定理可证；（2）由，可得， 为所求的二面角，由（1）可得为直角三角形，中，求解即可；（3）由题意可求的外接球的半径，由（2）得（a为的边长）且 为等腰直角三角形，故而可求得结果.

试题解析：(1)证明：连接，

因为在等边中， 为中点，所以.

因为,,.

所以平面,

又平面,所以,

在中，为边上的中线，

又，

所以为直角三角形，且.

因为，，，

所以平面.

（2）解：由（1）可知， 为所求二面角的平面角.

设，则，，

在直角三角形中，.

(3)解：设球半径为，则，所以.

设的边长为，

因为平面，平面

所以，，

且由（2）知，.

因为,

所以为直角三角形，且，，

所以，所以.