Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求函数在上的最小值和最大值；

（2）当时，讨论函数的单调性；

（3）是否存在实数，对任意的，且，都有恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）最小值为,；

（2）①当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，②当时，在上是增函数，③当时，则在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（3）.

【解析】

试题分析：（1）函数定义域为,当时求导判断导函数得正负,即可得函数单调性,从而得到最值；（2）因为,根据,将与进行比较,分类讨论,确定函数的单调性；（3）假设存在使不等式恒成立,不妨设,若，即，构建函数,在为增函数,只需在恒成立即可.

试题解析：解：

（1）当时，.

则，

∴当时，，当时，，

∴在上是减函数，在上是增函数.

∴当时，取得最小值，其最小值为.

又，.

，∴

∴.

（2）的定义域为，

，

①当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数.

②当时，在上是增函数.

③当时，则在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数.

（3）假设存在实数，对任意的，且，都有恒成立，

不妨设，若，即，

令

只要在为增函数

要使在恒成立，只需，，

故存在满足题意.