【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
在
上的最小值和最大值;
(2)当时,讨论函数
的单调性;
(3)是否存在实数,对任意的
,且
,都有
恒成立,若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1)最小值为,
;
(2)①当时,
在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是增函数,②当
时,在
上是增函数,③当
时,则
在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是增函数;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)函数定义域为
,当
时求导判断导函数得正负,即可得函数单调性,从而得到最值;(2)因为
,根据
,将
与
进行比较,分类讨论,确定函数的单调性;(3)假设存在
使不等式恒成立,不妨设
,若
,即
,构建函数
,在
为增函数,只需
在
恒成立即可.
试题解析:解:
(1)当时,
.
则,
∴当时,
,当
时,
,
∴在
上是减函数,在
上是增函数.
∴当时,
取得最小值,其最小值为
.
又,
.
,∴
∴.
(2)的定义域为
,
,
①当时,
在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是增函数.
②当时,在
上是增函数.
③当时,则
在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是增函数.
(3)假设存在实数,对任意的
,且
,都有
恒成立,
不妨设,若
,即
,
令
只要在
为增函数
要使在
恒成立,只需
,
,
故存在满足题意.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.类比推理,归纳推理,演绎推理都是合情推理
B.合情推理得到的结论一定是正确的
C.合情推理得到的结论不一定正确
D.归纳推理得到的结论一定是正确的
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【题目】在空间内、若两个平面互相垂直,则一个平面内垂直交线的直线与另一个平面垂直.该命题的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数( )
A.0B.2C.3D.4
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【题目】已知在三棱锥中,
分别是
的中点,
都是正三角形,
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的平面角的余弦值;
(3)若点在一个表面积为
的球面上,求
的边长.
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【题目】如图,有两条相交成60°角的直线xx′,yy′,交点是O,甲、乙分别在Ox,Oy上,起初甲离O点3 km,乙离O点1 km,后来两人同时用每小时4 km的速度,甲沿xx′方向,乙沿y′y方向步行,问:
(1)用包含t的式子表示t小时后两人的距离;
(2)什么时候两人的距离最短?
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【题目】给出如下命題:
①命题 “在中,若
,则
” 的逆命題为真命题;
②若动点到两定点
的距离之和为
,则动点
的轨迹为线段
;
③若为假命题,则
都是假命題;
④设,则“
”是“
”的必要不充分条件
⑤若实数成等比数列,则圆锥曲线
的离心率为
;
其中所有正确命题的序号是_________.
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【题目】已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=x2·[f(x)-a],且g(x)在区间[1,2]上为增函数,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数。
(1)当时,求函数
在点
处的切线方程;
(2)若函数,讨论函数
的单调性;
(3)若(2)中函数有两个极值点
,且不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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