Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．

（1）求证：平面;

（2）求二面角的正弦值;

（3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）由面面垂直的性质可得直线平面，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，求出平面的一个法向量，直线的方向向量，由即可得证；

（2）求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用，再利用同角三角函数的平方关系即可得解；

（3）设，由题意即，解出后即可得解.

（1）证明：平面平面，平面平面，平面，，

直线平面，

由题意，以点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，

则，，，，，，

依题意易得是平面的一个法向量，

又，，

又直线平面，平面；

（2），，，

设为平面的一个法向量，

则，即，令可得，

设为平面的一个法向量，

则，即，令 可得，

，二面角的正弦值为；

（3）设，则，又，

，即，

，解得或（舍去）．

故所求线段的长为．