Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O是AC的中点，A₁O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA₁=AC=BC．
（Ⅰ）求证：A₁B⊥AC₁；
（Ⅱ）求二面角A-BB₁-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出A₁O⊥BC，从而得到BC⊥平面A₁ACC₁，进而得到AC₁⊥BC，再由AA₁=AC，得到AC₁⊥A₁C，由此能证明A₁B⊥AC₁．
（Ⅱ）以OC为单位长度，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-BB₁-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）因为A₁O⊥平面ABC，所以A₁O⊥BC．
又BC⊥AC，所以BC⊥平面A₁ACC₁，
所以AC₁⊥BC．…（2分）
因为AA₁=AC，所以四边形A₁ACC₁是菱形，
所以AC₁⊥A₁C．
所以AC₁⊥平面A₁BC，
所以A₁B⊥AC₁．…（5分）
（Ⅱ）以OC为单位长度，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，-1，0），B（2，1，0），
C（0，1，0），C₁（0，2，

3

）．

AB

=（2，2，0），

BB1

=

CC1

=（0，1，

3

），
设=（x，y，z）是面ABB₁的一个法向量，
则

m

•

AB

=0，

m

•

BB1

=0，
即

2x+2y=0 y+ 3 z=0

，取x=

3

，得

m

=（

3

，-

3

，1）．
同理面CBC₁的一个法向量为

n

=（0，-

3

，1）．…（10分）
因为cos＜

m

，

n

＞=

2 7

7

．
所以二面角A-BB₁-C的余弦值

2 7

7

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．