Question

正方体AC₁中AB=2，E为BB₁的中点．
（1）请在线段DD₁上确定一点F使A，E，C₁，F四点共面，并加以证明；
（2）求二面角C-AC₁-E的平面角α的余弦值；
（3）点M在面ABCD内，且点M在平面AEC₁F上的射影恰为△AEC₁的重心，求异面直线AC与MC₁所成角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）当F是线段DD₁的中点时，A，E，C₁，F四点共面．由C₁F∥AE，能证明A，E，C₁，F四点共面．
（2）以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出二面角C-AC₁-E的平面角α的余弦值为0．
（3）设M（a，b，0），求出△AEC₁的重心G（

4

3

，

4

3

，1），由此求出M（

5

6

，

11

6

，0），从而能求出异面直线AC与MC₁所成角的余弦值．

解答： 解：（1）当F是线段DD₁的中点时，A，E，C₁，F四点共面．
证明：∵F是线段DD₁的中点，E为BB₁的中点，
∴C₁F∥AE，且C₁F=AE，
∴A，E，C₁，F四点共面．
（2）以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，
则由题意知A（2，0，0），C（0，2，0），
C₁（0，2，2），E（2，2，1），

AC

=(-2，2，0)，

AC1

=（-2，2，2），

AE

=(0，2，1)，
设平面ACC₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AC =-2x+2y=0 n • AC1 =-2x+2y+2z=0

，
取x=1，得

n

=(1，1，0)，
设平面AEC₁的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
则

m • AE =2y1+z1=0 m • AC1 =-2x1+2y1+2z1=0

，
取y₁=1，得

m

=（-1，1，-2）
∴cosα=cos＜

m

，

n

＞=

-1+1+0

2 • 6

=0．
∴二面角C-AC₁-E的平面角α的余弦值为0．
（3）设M（a，b，0），
∵A（2，0，0），C₁（0，2，2），E（2，2，1），
∴△AEC₁的重心G（

4

3

，

4

3

，1），
∴

MG

=（

4

3

-a，

4

3

-b，1），
∵

AC1

=（-2，2，2），

AE

=(0，2，1)，
∴

AC1 • MG =-2( 4 3 -a)+2( 4 3 -b)+2=0 AE • MG =2( 4 3 -b)+1=0

，
解得a=

5

6

，b=

11

6

，
∴M（

5

6

，

11

6

，0）．

MC1

=（

5

6

，-

1

6

，-2），
设异面直线AC与MC₁所成角为θ，
则cosθ=|cos＜

AC

，

MC1

＞|=|

- 5 3 - 1 3

8 • 85 18

|=

3 85

85

．
∴异面直线AC与MC₁所成角的余弦值为

3 85

85

．

点评：本题考查满足条件的点的位置的判断与证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两条异面直线的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．