Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁=a，AB=2a，AA₁=BC=a的矩形，E为C₁D₁的中点．
1）求证：平面BCE⊥平面BDE；
2）求点C到平面BDE的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明平面BCE⊥平面BDE，只要证明DE⊥平面EBC，只要证明由EC⊥ED，BC⊥DE，即可证明．
（2）由V_C-EBD=V_E-BCD可求C到平面BDE的距离．

解答： （1）证明：由题意可得，EC=ED=

2

a
∵CD=2a
∴EC⊥ED，
∵BC⊥平面CC₁D₁D
∴BC⊥DE，
即DE垂直于平面EBC中两条相交直线，
因此DE⊥平面EBC，
∵DE?平面BDE，
∴平面BCE⊥平面BDE；
（2）解：结合第（1）问得DB=

5

a，DE=

2

a，BE=

3

a，DE⊥BE，
所以，S_△EBD=

1

2

×

2

a×

3

a=

6

2

a2
又由V_C-EBD=V_E-BCD得

1

3

h×

6

2

a2=

1

3

a³
 故C到平面BDE的距离为h=

6

3

a．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用，等体积求解点到面的距离的应用．