Question

甲、乙两名运动员在4次训练中的得分情况如下面的茎叶图所示．
（Ⅰ）分别计算甲、乙训练得分的平均数和方差，并指出谁的训练成绩更好，为什么？
（Ⅱ）从甲、乙两名运动的训练成绩中各随机抽取1次的得分，分别记为x，y，设ξ=|x-8|+|y-10|，分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,众数、中位数、平均数,极差、方差与标准差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）分别求出甲和乙的平均数和方差，由此得到乙的平均水平比甲高，乙的训练成绩比甲稳定，故乙的训练成绩更好些．
（Ⅱ）由已知条件推导出ξ=|x-8|+|y-10|=0，1，3，4，5，由此能ξ取得最大值时的概率和ξ取得最小值时的概率．

解答： 解：（Ⅰ）∵

.

x甲

=

1

4

(8+8+9+11)=9，

s

2 甲

=

1

4

[(8-9)2×2+(9-9)2+(11-9)2]=

3

2

；…（2分）

.

x乙

=

1

4

(8+9+10+11)=

19

2

，

s

2 乙

=

1

4

[(8-

19

2

)2+(9-

19

2

)2+(10-

19

2

)2+(11-

19

2

)2]=

5

4

．…（4分）

.

x甲

＜

.

x乙

，  

s

2 甲

＞

s

2 乙

，
说明乙的平均水平比甲高，乙的训练成绩比甲稳定，
∴乙的训练成绩更好些．…（6分）
（Ⅱ）∵|x-8|的可能取值为0，1，3，
|y-10|的可能取值为0，1，2，…（8分）
∴ξ=|x-8|+|y-10|=0，1，3，4，5，
∴ξ取得最大值时的概率为P(ξ=5)=

C 1 1 • C 1 1

C 1 4 • C 1 4

=

1

16

，…（10分）
ξ取得最小值时的概率为P(ξ=0)=

C 1 2 • C 1 1

C 1 4 • C 1 4

=

1

8

．…（12分）

点评：本题考查均值和方差的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意茎叶图的合理运用．