Question

如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，CD=2，AD=4．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．
（1）证明：PQ∥平面BCD；
（2）若异面直线PQ与CD所成的角为45°，二面角C-BM-D的大小为θ，求cosθ的值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连AP并延长交BD于E，连CE，过M作MN∥BD交AP于N，由已知条件推导出PQ∥CE．由此能证明PQ∥平面BCD．
（2）过C作CF⊥BD于F，作CR⊥BM于R，连FR．由已知条件推导出∠CRF=θ即为二面角C-BM-D的平面角，由此能求出cosθ的值．

解答： （1）证明：如图，连AP并延长交BD于E，连CE，
过M作MN∥BD交AP于N，则AN=NE，NP=PE．
故AP=3PE，从而PQ∥CE．
因PQ?平面BCD，CE?平面BCD，
故PQ∥平面BCD．
（2）解：过C作CF⊥BD于F，作CR⊥BM于R，连FR．
因AD⊥平面BCD，故平面ABD⊥平面BCD，
故CF⊥平面ABD，因此CF⊥BM，从而BM⊥平面RCF，
所以∠CRF=θ即为二面角C-BM-D的平面角．
因PQ∥CE，故∠DCE=45°，因此CE即为∠BCD的角平分线．
由 （1）知DE=2MN=2EB，故DC=2BC，
从而BC=1，CF=

1•2

12+22

=

2

5

．
由题意知BC⊥平面ACD，故BC⊥CM．
由题意知CM=2

2

，故CR=

1•2 2

1+8

=

2 2

3

．
所以sinθ=

CF

CR

=

3

10

，从而cosθ=

1

10

=

10

10

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．