Question

已知命题p：方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）至少有一个实数根，命题q：实数m满足e^m＜a，且￢q是￢p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：根据函数的性质分别求出命题￢q和￢p的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

解答： 解：∵命题p：方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）至少有一个实数根，
∴命题￢p：方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）没有实数根，
若m=0，则方程为3x=1，此时x=

1

3

，不满足条件，
若m≠0，设f（x）=mx²+（m-3）x+1，
∵f（0）=1＞0，
∴m＞0，
①若判别式△=（m-3）²-4m＜0，即此时1＜m＜9，成立，
②若判别式△=（m-3）²-4m≥0，即m≥9或0＜m≤1时，
对称轴满足x=-

m-3

2m

≤0，即m（m-3）≥0，则m≥3，
此时m≥9，
综上m＞1．
∵命题q：实数m满足e^m＜a，
∴命题￢q：实数m满足e^m≥a，
∵￢q是￢p的必要不充分条件，
∴当m≥9，e^m≥a成立，
则a≤e⁹，
故a的取值范围是a≤e⁹．

点评：本题主要考查命题充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．