Question

【题目】设,分别为椭圆:的左右焦点,已知椭圆上的点到焦点,的距离之和为4.

(1)求椭圆的方程;

(2)过点作直线交椭圆于,两点,线段的中点为,连结并延长交椭圆于点(为坐标原点),若,,等比数列,求线段的方程.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）根据椭圆定义，代入点，得到和，从而得到椭圆方程；（2）根据（1）得到，根据题意得到，当直线斜率不存在时，说明不成立，当直线斜率存在，设为，与椭圆联立得到，，再得到点坐标，求出方程，得到，利用弦长公式，得到，从而得到关于的方程，解得值，得到的方程.

解:（1）因为椭圆上的点到焦点，的距离之和为4

所以，即，

将点代入椭圆方程得，得，

故椭圆方程为.

（2）因为，

所以焦点的坐标分别为和，，

因为，，成等比数列，

所以.

①当直线斜率不存在时，则所求方程为，，.

显然不符合题意.

②当直线斜率存在，并设直线方程为，

代入得，

设，，则，，

所以，，

即点坐标为，

所以可得直线方程为:，

代入椭圆方程解得，，

故，

又因为，

代入，得，解得，

故直线的方程为.