[题目]已知为直平行六面体.命题为正方体,命题的任意体对角线与其不相交的面对角线垂直.则命题是命题的( )条件 .A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知为直平行六面体.命题为正方体；命题的任意体对角线与其不相交的面对角线垂直.则命题是命题的（）条件 .

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要

【答案】C

【解析】

充分性显然成立，下面证明必要性成立.

如下左图，上下底面为平行四边形，各个侧面均为矩形.

作体对角线和在平面上的射影.

因为平面平面，所以，点、的垂足、必在直线上，和在平面上的射影分别为和.平面上的图形如下右图.

由，，知四边形是平行四边形，其对角线的交点为.

又，，由三垂线定理知，.则.

因为点到的距离等于点到的距离等于，且是等腰两腰上高的交点，所以，也是等腰三角形.

从而，点与重合，且.

故侧面是正方形.

同理，其他侧面四边形均为正方形.

又点、分别与、重合，由此可得底面四边形为正方形.

综上，六面体为正方体.

故答案为：C

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