Question

【题目】如图，直三棱柱中，，，，，点是棱上不同于的动点.

（1）证明：；

（2）若平面将棱柱分成体积相等的两部分，求此时二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）先由余弦定理可求得，再由勾股定理可得，然后由和即可证得平面，从而得证；

（2）由题设知，，结合柱体的体积可得，所以是的中点，以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，进而利用法向量求解二面角即可.

（1）证明：（方法一）在中，由余弦定理

.

∴，则，∴.

∴，

又，，

∴平面

又平面，

∴

证明：（方法二）在中，，

∴，∴

又，，

∴平面

又平面，

∴

（2）

由题设知，

又

，∴是的中点.

∴以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标，

∴，，，，，

设是平面的法向量，

，，令，，

∴

平面的法向量，

.

所以二面角的余弦值为.