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    【题目】如图，直三棱柱中，，，，，点是棱上不同于的动点.

    （1）证明：；

    （2）若平面将棱柱分成体积相等的两部分，求此时二面角的余弦值.

    【答案】（1）见解析； （2）.

    【解析】

    （1）先由余弦定理可求得，再由勾股定理可得，然后由和即可证得平面，从而得证；

    （2）由题设知，，结合柱体的体积可得，所以是的中点，以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，进而利用法向量求解二面角即可.

    （1）证明：（方法一）在中，由余弦定理

    .

    ∴，则，∴.

    ∴，

    又，，

    ∴平面

    又平面，

    ∴

    证明：（方法二）在中，，

    ∴，∴

    又，，

    ∴平面

    又平面，

    ∴

    （2）

    由题设知，

    又

    ，∴是的中点.

    ∴以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标，

    ∴，，，，，

    设是平面的法向量，

    ，，令，，

    ∴

    平面的法向量，

    .

    所以二面角的余弦值为.

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