Question

19．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB=PC，M、N分别为AB、BC的中点．

（1）求证：AC∥平面PMN；
（2）求证：MN⊥BC．

Answer 1

分析 （1）由已知可证MN∥AC，根据直线与平面平行的判定定理即可证明AC∥平面PMN．
（2）易证明PM⊥AB，PN⊥BC，由平面PAB⊥平面ABC，可证PM⊥BC，从而证明BC⊥平面PMN，MN?平面PMN，即可得证．

解答 证明：（1）因为M、N分别为AB、BC的中点，所以MN∥AC…（3分）
又因为MN?平面PMN，AC?平面PMN，所以AC∥平面PMN…（7分）
（2）因为PA=PB=PC，M、N分别为AB、BC的中点，
所以PM⊥AB，PN⊥BC，
又因为平面PAB⊥平面ABC，PM?平面PAB，平面PAB∩平面ABC=AB，
所以PM⊥平面ABC…（10分）
又BC?平面ABC，
所以PM⊥BC，
所以BC⊥平面PMN，
因为MN?平面PMN，
所以MN⊥BC…（14分）

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．