Question

11．已知函数y=ax³-x在（-1，1）上是单调减函数，则实数a的取值范围（　　）

• A． a＜$\frac{1}{3}$
• B． a=1
• C． a=$\frac{1}{3}$
• D． a≤$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根据函数单调性和导数之间的关系进行求解．

解答 解：若函数y=ax³-x在（-1，1）上是单调减函数，
则y′≤0在（-1，1）上恒成立，
即3ax²-1≤0在（-1，1）上恒成立，
即3ax²≤1，
若a≤0，满足条件．
若a＞0，则只要当x=1或x=-1时，满足条件即可，
此时3a≤1，即0＜a≤$\frac{1}{3}$，
综上a≤$\frac{1}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用导数和函数单调性的关系转化为f′（x）≤0恒成立是解决本题的关键．