Question

设函数f(x)＝x²＋2x＋kln x，其中k≠0.
(1)当k>0时，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)讨论f(x)的极值点．

Answer 1

（1）f(x)在(0，＋∞)上单调递增
（2）x₀是f(x)唯一的极小值点  见解析

f′(x)＝x＋2＋.
(1)当k>0时，f′(x)＝x＋2＋>0在(0，＋∞)恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝＝0，
得(x＋1)²＝1－k>(0＋1)²＝1，
所以当k>0时，f′(x)＝0在(0，＋∞)没有根，f(x)没有极值点；
当k<0时，f′(x)＝0在(0，＋∞)有唯一根x₀＝－1，
因为在(0，x₀)上f′(x)<0，在(x₀，＋∞)上f′(x)>0，
所以x₀是f(x)唯一的极小值点．