Question

12．已知函数y=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]的定义域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 通过函数定义域为R，讨论二次项系数为0时，不成立，系数不为0时，让系数大于0且根的判别式大于等于0求出a的范围即可．

解答 解：∵f（x）=lg[（a²-1）x²+（a-1）x+1]的定义域为R，
∴（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0恒成立．
当a²-1=0时，得a=-1，a=1不成立．
当a²-1≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}-1＞0\\△=（a-1）^{2}-4（{a}^{2}-1）＜0\end{array}\right.$，
解得a＞$\frac{5}{3}$或a＜-1．
当a=-1时，函数y=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]的定义域为R，满足题意．
实数a的取值范围是a＞$\frac{5}{3}$或a≤-1．

点评 考查学生理解对数函数定义域和值域的能力，以及理解函数恒成立条件的能力，属于中档题．