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    在正方体中，分别的中点.

    （1）求证：；
    （2）已知是靠近的的四等分点，求证：.
    （1）详见解析；（2）详见解析

    试题分析：（1）用普通方法不容易证且为正方体故选用空间向量法。先建立空间直角坐标系，设出正方体的边长得各点的坐标。用向量垂直证线线垂直，再根据线面垂直的定义证得线面垂直。（2）由（1）可知，用向量证得，即,再根据线面平行的判定定理证得线面平行。
    试题解析：证明：如图所示，建立空间直角坐标系.

    设正方体的棱长为.
    ∵分别的中点，
    ∴，，
    ，.                       1分
    （1）∵，∴.    2分
    ∵，，，
    ∴，.      3分
    ∵，
    ，
    ∴，.                      5分
    ∵是平面上的两条相交直线，∴.     6分
    （2）∵是靠近的的四等分点，∴.          7分
    设，则，
    ∴，
    ∴.           9分
    ∴，∴，
    ∵，且不在平面内，∴.    12分
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，多面体ABC－A1B1C1中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，AA1＝BB1＝2CC1＝4.

    (1)若O是AB的中点，求证：OC1⊥A1B1；
    (2)在线段AB1上是否存在一点D，使得CD∥平面A1B1C1，若存在，确定点D的位置；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在矩形中，点为边上的点，点为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面.

    (1) 求证：平面平面；
    (2) 求二面角的大小.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°。

    （1）求证：平面MAP⊥平面SAC。
    （2）求二面角M—AC—B的平面角的正切值；

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1，AB=AC=1，∠BAC=90°，连结A1B与∠A1BC=60°．

    （Ⅰ）求证：AC⊥A1B；
    （Ⅱ）设D是BB1的中点，求三棱锥D－A1BC1的体积．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    给出四个命题：
    ①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；
    ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；
    ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；
    ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；
    其中真命题的序号是________．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    如图所示，在四边形A-BCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是(　　)．
    A．平面ABD⊥平面ABC
    B．平面ADC⊥平面BDC
    C．平面ABC⊥平面BDC
    D．平面ADC⊥平面ABC

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是(　　)．
    A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
    B．当m?α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
    C．当m?α时，“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件
    D．当m?α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    将边长为2，锐角为的菱形沿较短对角线折成二面角，点分别为的中点，给出下列四个命题：
    ①；②与异面直线、都垂直；③当二面角是直二面角时，=；④垂直于截面.
    其中正确的是              （将正确命题的序号全填上）.

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