Question

8．设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A、B两点，若直线l的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（　　）

• A． 0
• B． -1
• C． 2
• D． -3

Answer 1

分析 设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理结合数量积推出结果即可．

解答 解：设直线方程为：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}（x+p）$，与抛物线方程联立可得：x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}=0$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=3p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
则$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁-$\frac{p}{2}$）（x₂-$\frac{p}{2}$）+y₁y₂=$\frac{3}{2}$x₁x₂-$\frac{p}{4}$（x₁+x₂）+$\frac{3}{8}$p²=$\frac{3}{2}$×$\frac{{p}^{2}}{4}$-$\frac{p}{4}$×3p+$\frac{3}{8}$p²=0．
故选：A．

点评 本题考查直线与抛物线方程的综合应用，向量的数量积的求法，考查计算能力．