Question

16．定义：对于任意n∈N^*，满足条件$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}≤{a_{n+1}}$且a_n≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列{a_n}称为M数列．
（1）若等差数列{b_n}的前n项和为S_n，且b₂=-3，S₅=-25，判断数列{b_n}是否是M数列，并说明理由；
（2）若各项为正数的等比数列{c_n}的前n项和为T_n，且${c_3}=\frac{1}{4}，{T_3}=\frac{7}{4}$，证明：数列{T_n}是M数列，并指出M的取值范围；
（3）设数列${d_n}=|{\frac{p}{n}-1}|（{n∈{N^*}，p＞1}）$，问数列{d_n}是否是M数列？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质求得b₃=-5，即可求得b_n，根据等差数列等差中项，即可求得b_n≤b₁=-1，数列{b_n}是否是M数列；
（2）由等比数列的性质，求得公比q，$\frac{{T}_{n}+{T}_{n+2}}{2}$=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$=T_n+1，且T_n＜2，则$\underset{lim}{n→∞}$T_n=2，即可求得M的取值范围；
（3）假设数列{d_n}是否是M数列，则丨$\frac{p}{n}$-1丨+丨$\frac{p}{n+2}$-1丨-2丨$\frac{p}{n+1}$-1丨≤0，n∈N*，成立，分类讨论，根据p的取值范围，去掉绝对值，即可q的取值范围．

解答 解：证明：（1）设等差数列{b_n}公差为d，由等差数列性质可知：S₅=5b₃，则b₃=-5．
则d=b₃-b₂=-2，
则等差数列{b_n}的通项公式b_n=b₃+（n-3）=-2n+1，
由$\frac{{b}_{n}+{b}_{n-2}}{2}$=$\frac{（-2n-1）+（-2n-3）}{2}$=-2n-1=b_n+1，且b_n≤b₁=-1，
数列{b_n}是否是M数列；
证明：（2）由数列{c_n}为各项都为正数的等比数列，公式q＞0，
将c₃=$\frac{1}{4}$代入T₃=$\frac{{c}_{3}}{{q}^{2}}$+$\frac{{c}_{3}}{q}$+c₃=$\frac{7}{4}$，整理得：6q²-q-1=0，解得：q=$\frac{1}{2}$，
则$\frac{{T}_{n}+{T}_{n+2}}{2}$=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{{2}^{n+2}}$=2-$\frac{5}{{2}^{n+2}}$＜2-$\frac{4}{{2}^{n+2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$=T_n+1，
且T_n＜2，则$\underset{lim}{n→∞}$T_n=2，
数列{T_n}是M数列，且M≥2．
∴M的取值范围[2，+∞）；
（3）若数列{d_n}是否是M数列，则d_n+d_n+2-2d_n+1≤0，n∈N*，成立，
即丨$\frac{p}{n}$-1丨+丨$\frac{p}{n+2}$-1丨-2丨$\frac{p}{n+1}$-1丨≤0，n∈N*，成立，②成立，
先考虑n=1时，由②可知：（p-1）+丨$\frac{p}{3}$-1丨-2丨$\frac{p}{2}$-1丨≤0，
由p＞1，则（p-1）+（1-$\frac{p}{3}$）+2（1-$\frac{p}{2}$）≤0成立，解得：1＜p≤$\frac{6}{5}$，
当n≥2时，则丨$\frac{p}{n}$-1丨+丨$\frac{p}{n+2}$-1丨-2丨$\frac{p}{n+1}$-1丨=（1-$\frac{p}{n}$）+（1-$\frac{p}{n+2}$）-（1-$\frac{p}{n+1}$）=p×$\frac{-n-2}{n（n+1）（n+2）}$＜0，
故n∈N*，成立，②恒成立，
同时，d_n=丨$\frac{p}{n}$-1丨≤1，则数列{d_n}是否是M数列，
当2＜p≤3时，（p-1）+（1-$\frac{p}{3}$）-2（$\frac{p}{2}$-1）≤0，此时p不存在，故n=1时，②不成立，
当p＞3时，则（p-1）+（$\frac{p}{3}$-1）-2（$\frac{p}{2}$-1）≤0，此时p不存在，故n=1时，②不成立，
综上可知当1＜p≤$\frac{6}{5}$，数列{d_n}是M数列，
当p＞$\frac{6}{5}$，数列{d_n}不是M数列．

点评 本题考查等差数列及等比数列的性质，考查数列的新定义，考查分类讨论思想，属于难题．