Question

7．已知函数：$f（x）=\frac{x+1-a}{x-a}（a∈R且x≠a）$．
（1）若a=1，求f（-16）+f（-15）+f（-14）+…+f（17）+f（18）的值；
（2）当f（x）的定义域为[a-2，a-1]时，求f（x）的值域；
（3）设函数g（x）=x²-|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）化简$f（x）+f（2-x）=\frac{x}{x-1}+\frac{2-x}{1-x}$=2，然后求解f（-16）+f（-15）+f（-14）+…+f（17）+f（18的值即可．
（2）判断$f（x）=1+\frac{1}{x-a}$，在[a-2，a-1]上单调递减，通过f（a-1）≤f（x）≤f（a-2）求解函数的值域即可．（3）化简g（x）=x²-|x+1-a|（x≠a），通过
①当x≥a-1且x≠a，$a≥\frac{3}{2}$时，则函数在[a-1，a）和（a，+∞）上单调递增求出最小值．a$＜\frac{3}{2}$且a$≠\frac{1}{2}$，求解最小值．当$a=\frac{1}{2}$时，g（x）最小值不存在．②当x≤a-1时，通过a的范围，分别求解函数的最小值．推出结果即可．

解答 解：（1）$f（x）+f（2-x）=\frac{x}{x-1}+\frac{2-x}{1-x}$=2，…（2分）
f（-16）+f（-15）+f（-14）+…+f（17）+f（18）=35，…（3分）
（2）证明：$f（x）=1+\frac{1}{x-a}$，易知f（x）在[a-2，a-1]上单调递减，…（4分）
f（a-1）≤f（x）≤f（a-2），…（5分）
即$0≤f（x）≤\frac{1}{2}$，∴$f（x）值域[0，\frac{1}{2}]$．…（6分）
（3）解：g（x）=x²-|x+1-a|（x≠a），
①当$x≥a-1且x≠a，g（x）={x^2}-x-1+a={（x-\frac{1}{2}）^2}-\frac{5}{4}+a$，
如果$a-1≥\frac{1}{2}$即$a≥\frac{3}{2}$时，则函数在[a-1，a）和（a，+∞）上单调递增$g{（x）_{min}}=g（a-1）={（a-1）^2}$…（7分）
如果$a-1＜\frac{1}{2}即a＜\frac{3}{2}且a≠\frac{1}{2}，g{（x）_{min}}=g（\frac{1}{2}）=a-\frac{5}{4}$，
当$a=\frac{1}{2}$时，g（x）最小值不存在．…（8分）
②当$x≤a-1，g（x）={x^2}+x+1-a={（x+\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}-a$，
如果$a-1＞-\frac{1}{2}即a＞\frac{1}{2}，g{（x）_{min}}=g（-\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}-a$，…（9分）
如果$a-1≤-\frac{1}{2}即a≤\frac{1}{2}，g（x）在（-∞，\left.{a-1}]$上为减函数，$g{（x）_{min}}=g（a-1）={（a-1）^2}$，…（10分）
当$a≥\frac{3}{2}，{（a-1）^2}-（\frac{3}{4}-a）={（a-\frac{1}{2}）^2}＞0，a＜\frac{1}{2}，{（a-1）^2}-（a-\frac{5}{4}）={（a-\frac{3}{2}）^2}≥0$，$\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{2}，a-\frac{5}{4}-（\frac{3}{4}-a）=2（a-1）$，…（11分）
综合得：当a＜1且$a≠\frac{1}{2}$时，g（x）最小值是$a-\frac{5}{4}$，
当a≥1时，g（x）最小值为$\frac{3}{4}-a$，
当$a=\frac{1}{2}$时，g（x）最小值不存在．…（12分）

点评 本题考查函数的最值的求法，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，二次函数的性质，考查分析问题解决问题的能力．