Question

9．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且${a^2}+{b^2}+\sqrt{2}ab={c^2}$，则tanAtan2B的取值范围是$（0，\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 由且${a^2}+{b^2}+\sqrt{2}ab={c^2}$，可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，C∈（0，π），解得C=$\frac{3π}{4}$．可得tanAtan2B=tan$（\frac{π}{4}-B）$•tan2B=$\frac{2tanB}{（1+tanB）^{2}}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由且${a^2}+{b^2}+\sqrt{2}ab={c^2}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，C∈（0，π），
解得C=$\frac{3π}{4}$．
则tanAtan2B=tan$（\frac{π}{4}-B）$•tan2B=$\frac{1-tanB}{1+tanB}$×$\frac{2tanB}{1-ta{n}^{2}B}$=$\frac{2tanB}{（1+tanB）^{2}}$，
令tanB=t∈（0，1），则$\frac{2t}{1+2t+{t}^{2}}$≤$\frac{2t}{4t}$=$\frac{1}{2}$，等号不成立．
∴$\frac{2tanB}{（1+tanB）^{2}}$∈（0，$\frac{1}{2}$），
故答案为：$（0，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了余弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．