Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，
且∠DAB=90°，∠ABC=45°，CB=

2

，AB=2，PA=1
（1）求证：AB∥平面PCD；
（2）求证：BC⊥平面PAC；
（3）若M是PC的中点，求三棱锥C-MAD的体积．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理证明；
（2）利用勾股定理证明BC⊥AC，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BC．从而可证得BC⊥平面PAC：
（3）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，AE=DC，AD=EC．求得CE，
计算△ACD的面积，根据M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半，求得棱锥的高，代入体积公式计算．

解答：解：（1）∵底面ABCD是直角梯形，且∠DAB=90°，∠ABC=45°，
∴AB∥CD，
又AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PCD．           
（2）∵∠ABC=45°，CB=

2

，AB=2，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos45°=4+2-2×2×

2

×

2

2

=2．
则AC²+BC²=AB²，∴BC⊥AC．         
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．        
（3）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，
则四边形ADCE为矩形，∴AE=DC，AD=EC．
在Rt△CEB中，可得BE=BC•cos45°=

2

×

2

2

=1，
CE=BC•sin45°=

2

×

2

2

=1，∴AE=AB-BE=2-1=1
∴S_△ADC=

1

2

DC•CE=

1

2

×1×1=

1

2

．，
∵M是PC的中点，∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半，
∴V_C-MAD=V_M-ACD=

1

3

×S_△ACD×（

1

2

PA）=

1

3

×

1

2

×

1

2

=

1

12

．

点评：本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判断，考查了三棱锥的换底性及棱锥的体积公式，涉及知识较多，对学生的推理论证能力有一定的要求．