Question

设函数f（x）=x³-2x²-4x-7
（Ⅰ）求f（x）的单调区间及极小值；
（Ⅱ）确定方程f（x）=0的根的一个近似值，使其误差不超过0.5，并说明理由；
（Ⅲ）当a＞2时，证明：对任意的实数x＞2，恒有f（x）≥f（a）+f′（a）（x-a）．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x³-2x²-4x-7，∴f^′（x）=3x²-4x-4=（3x+2）（x-2），
令f^′（x）=0，解得x=或2．
列表如下：
由表格可知：函数f（x）的单调递增区间是，（2，+∞）；单调递减区间是．
其图象如图所示：
在x=2处取得极小值f（2）=-15．
（Ⅱ）∵=＜0，f（3）=-10＜0，f（4）=9＞0．
由（1）可知：函数只有在区间（3，4）内存在唯一的一个零点x₀．
∵|x₀-3.5|≤0.5，
∴取3.5作为x₀的一个近似值可满足所给的误差要求．
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-f（a）-f^′（a）（x-a），
则g^′（x）=3x²-4x-4-f^′（a）=3x²-4x-4-（3a²-4a-4）=（x-a）[3（x+a）-4]．
∵x＞2，a＞2，∴3（x+a）-4＞0．
∴当2＜x＜a时，g^′（x）＜g^′（a）=0，g（x）在（2，a）上单调递减；
当x＞a时，g^′（x）＞g^′（a）=0，g（x）在（a，+∞）上单调递增．
∴函数g（x）在x=a处取得极小值 也即最小值．
∴当x∈（2，+∞），g（x）≥g（a）=0，
从而命题得证．
分析：（Ⅰ）利用函数的对数即可得出；
（Ⅱ）利用（1）的表格和图象先判断函数的零点所在的区间，根据误差要求即可得出；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-f（a）-f^′（a）（x-a），利用导数求其极小值及最小值即可．
点评：熟练掌握导数研究函数的单调性和极值是解题的关键．