Question

【题目】如图，已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，BDD1B1为矩形，平面BDD1B1⊥平面ABCD，又AB=AD=BB1=1，CD=2．

（1）证明：CB1⊥AD1；

（2）求B1到平面ACD1的距离．

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)1

【解析】

（1）推导出BB1⊥平面ABCD，DD1⊥平面ABCD，连结AC，推导出B1C⊥B1D1，B1C⊥AB1，从而B1C⊥面B1D1A，由此能证明CB1⊥AD1．

（2）求出四面体B1-AD1C的体积V=，，设B1到平面ACD1的距离为h，由等体积法得h=，，由此能求出B1到平面ACD1的距离．

证明：（1）∵BDD1B1是矩形，且平面BDD1B1⊥平面ABCD，

∴BB1⊥平面ABCD，DD1⊥平面ABCD，

在Rt△D1DC中，D1C=，AD1=，AB1=，

连结AC，在梯形ABCD中，∠DAB=90°，AD=AB=1，DC=2，

∴AC=，BC=，∴B1C=，

在△B1D1C中，D1C=，，

B1C=，∴B1C⊥B1D1，

在△B1CA中，B1C=，AB1=，AC=，

∴B1C⊥AB1，

∵B1D1∩AB1=B1，∴B1C⊥面B1D1A，

∵AD1平面B1D1A，∴CB1⊥AD1．

解：（2）在△B1D1A中，AB1=B1D1=，AD1=，

则△BD1A的面积S==，

∴四面体B1-AD1C的体积V=，

在△ACD1中，AC=CD1=，而AD1=，

∴等腰△ACD1的边AD1上的高d==，

∴△ACD1的面积S==，

设B1到平面ACD1的距离为h，由等体积法得h=，

∴，解得h=1，

∴B1到平面ACD1的距离为1．