Question

16．已知f（x）=3cos（$\frac{π}{2}$-x）+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+x），则f（x）的最小正周期为2π，f（x）的最大值为$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用诱导公式化简函数的表达式，通过两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，通过（1）得到的函数表达式，利用正弦函数的最值，求出函数的最大值．

解答 解：∵f（x）=3cos（$\frac{π}{2}$-x）+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+x）
=3sinx+$\sqrt{3}$cosx
=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）
=2$\sqrt{3}$（sinxcos$\frac{π}{6}$+sin$\frac{π}{6}$cosx）
=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$），
∴T=2π．
当sin（x+$\frac{π}{6}$）=1时，
函数f（x）取最大值为：2$\sqrt{3}$．
故答案为：2π；$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查利用诱导公式、两角和的正弦函数化简三角函数的表达式的方法，考查三角函数的最值、周期的求法，考查计算能力，是基础题．