Question

12．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为$\frac{1}{2}$．过点A（x₀，0）（x₀≥$\frac{1}{8}$）作直线l交抛物线C于P，Q两点（P在第一象限内）．
（1）若A与焦点F重合，且|PQ|=2．求直线l的方程；
（2）设Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于B，且BP⊥BQ．求点B到直线l的距离的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出抛物线的焦点坐标，然后假设直线l的方程为：x=ny+$\frac{1}{4}$，将P，Q的坐标设出，联立直线和抛物线方程消去x得到两根之和，然后根据|PQ|的长度得到n的值．
（2）证明点B的坐标是（-x₀，0）．确定△BMQ为等腰直角三角形，得到k_PB=1，再表示出点B到直线l的距离d即可求范围．

解答 解：（1）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为$\frac{1}{2}$，
∴p=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线C：y²=x得抛物线的焦点坐标为（$\frac{1}{4}$，0），
设直线l的方程为：x=ny+$\frac{1}{4}$，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{x=ny+\frac{1}{4}}\end{array}\right.$得y²-ny-$\frac{1}{4}$=0．
所以△=n²+1＞0，y₁+y₂=n．
所以|PQ|=x₁+$\frac{1}{4}$+x₂+$\frac{1}{4}$=（x₁+x₂）+$\frac{1}{2}$=n（y₁+y₂）+1=2．
所以n²=1．即n=±1．
所以直线l的方程为：4x-4y-1或4x+4y-1=0；
（2）设B（x_B，0），则$\overrightarrow{BM}$=（x₂-x_B，-y₂），$\overrightarrow{BP}$=（x₁-x_B，y₁）．
由题意知：$\overrightarrow{BM}$∥$\overrightarrow{BP}$，∴x₂y₁-y₁x_B=-x₁y₂+x_By₂．
即（y₁+y₂）x_B=x₁y₂+x₂y₁=y₁²y₂+y₂²y₁=（y₁+y₂）y₁y₂．
显然y₁+y₂=m≠0，∴x_B=y₁y₂=-x₀．∴B（-x₀，0）．
由题意知：△BMQ为等腰直角三角形，∴k_PB=1，
即$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，∴y₁-y₂=1．
∴（y₁+y₂）²-4y₁y₂=1．∴m²+4x₀=1．∴m²=1-4x₀＞0．
∴x₀＜$\frac{1}{4}$．
∵x₀≥$\frac{1}{8}$，
∴$\frac{1}{8}$≤x₀＜$\frac{1}{4}$．
∴d=$\frac{2{x}_{0}}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{2{x}_{0}}{\sqrt{2-4{x}_{0}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{（\frac{1}{{x}_{0}}-1）^{2}-1}}$∈[$\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\frac{1}{2}$）．
即d的取值范围是[$\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查抛物线和直线的综合题．圆锥曲线和直线的综合题是高考的热点问题，每年必考，要给予重视．