Question

3．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}={n^2}-4n$，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}={2^{a_n}}+1$，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若对于任意正整数n，都有$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}≤λ$，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由数列的递推式：当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，计算即可得到所求通项；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${b_n}={2^{2n-5}}+1$．运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和；
（Ⅲ）运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，判断数列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求实数λ的最小值．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=-3；                      
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n-（n-1）²+4（n-1）=2n-5，
因为a₁=-3符合上式，
所以a_n=2n-5（n∈N^*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${b_n}={2^{2n-5}}+1$．
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2^-3+1）+（2^-1+1）+…+（2^2n-5+1）
=（2^-3+2^-1+…+2^2n-5）+n
=$\frac{{{2^{-3}}（1-{4^n}）}}{1-4}+n$=$\frac{1}{24}（{4^n}-1）+n$．
（Ⅲ）$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{3}-1+\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（2n-5）（2n-3）}$
=$-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-5}-\frac{1}{2n-3}）]$=$-\frac{1}{6}-\frac{1}{4n-6}$，
当n=1时，$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}=\frac{1}{3}$，（注：此时$\frac{1}{4n-6}＜0$），
当n≥2时，因为$\frac{1}{4n-6}＞0$，
所以$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＜-\frac{1}{6}$．
则n=1时，取得最大值．
因为对于任意正整数n，都有$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}≤λ$，
由题意，得$λ≥\frac{1}{3}$；        
所以λ的最小值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，以及数列的最值，考查运算能力，属于中档题．