Question

已知抛物线C的方程为y²=4x．
（Ⅰ）写出焦点F的坐标和准线l的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点．问是否存在直线l，使得弦AB的中点为（1，1），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据抛物线方程求得p，则根据抛物线性质可求得抛物线的焦点F的坐标和准线l的方程；
（Ⅱ）利用点差法，结合弦中点的坐标求出斜率，利用点斜式，可得直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）抛物线y²=4x的焦点在x轴上，且p=2
∴抛物线焦点坐标为（1，0），抛物线的准线方程是x=-1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
两式相减可得y₁²-y₂²=4x₁-4x₂，
∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）
∵弦AB的中点为（1，1），
∴y₁+y₂=2，
∴直线l的斜率为

y1-y2

x1-x2

=2，
∴直线l的方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0．

点评：本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于中档题