Question

已知函数f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0在区间[1，e]上恒成立，则只需求出f（x）的最大值即可，求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
∴f′(x)=

2x2-2(a+1)x+2a

x

=

2(x-1)(x-a)

x

(x＞0)，
由f'（x）=0得x₁=a，x₂=1，
当0＜a＜1时，在x∈（0，a）或x∈（1，+∞）时f'（x）＞0，
在x∈（a，1）时f'（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间是（0，a）和（1，+∞），单调减区间是（a，1）；
当a=1时，在x∈（0，+∞）时f'（x）≥0，
∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a＞1时，在x∈（0，1）或x∈（a，+∞）时f'（x）＞0，
在x∈（1，a）时f'（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+∞），单调减区间是（1，a）．
（2）由（1）可知f（x）在区间[1，e]上只可能有极小值点，
∴f（x）在区间[1，e]上的最大值在区间的端点处取到，
即有f（1）=1-2（a+1）≤0且f（e）=e²-2（a+1）e+2a≤0，
解得a≥

e2-2e

2e-2

．
即实数a的取值范围是a≥

e2-2e

2e-2

．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．