Question

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）-log₂（a²-3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）通过对自变量x的范围的讨论，去掉绝对值符号，从而可求得不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）不等式f（x）-log2(a2-3a)＞2恒成立?log2(a2-3a)+2＜f（x）_min恒成立，利用绝对值不等式的性质易求f（x）_min=4，从而解不等式log2(a2-3a)＜2即可．

解答： 解：（Ⅰ）原不等式等价于

x＞ 3 2 (2x+1)+(2x-3)≤6

或

- 1 2 ≤x≤ 3 2 (2x+1)-(2x-3)≤6

或

x＜- 1 2 -(2x+1)-(2x-3)≤6

，
解得：

3

2

＜x≤2或-

1

2

≤x≤

3

2

或-1≤x＜-

1

2

，
∴不等式f（x）≤6的解集为{x|-1≤x≤2}．  
（Ⅱ）不等式f（x）-log2(a2-3a)＞2恒成立?log2(a2-3a)+2＜f（x）=|2x+1|+|2x-3|恒成立?log2(a2-3a)+2＜f（x）_min恒成立，
∵|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，
∴f（x）的最小值为4，
∴log2(a2-3a)+2＜4，
即

a2-3a＞0 a2-3a-4＜0

，
解得：-1＜a＜0或3＜a＜4．
∴实数a的取值范围为（-1，0）∪（3，4）．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查函数的单调性与解不等式组的能力，属于难题．