Question

已知函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x＞0，都有f′（x）＞

f(x)

x

．
（Ⅰ）判断函数F（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）设x₁，x₂∈（0，+∞），证明：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）求出导数F'（x），根据条件判断导数在（0，+∞）内的符号，从而说明函数F（x）的单调性；
（Ⅱ）运用（Ⅰ）的结论证明，注意应用累加法；
（Ⅲ）先写出推广的结论，然后运用（Ⅰ）的结论证明，并注意累加．

解答： 解：（Ⅰ）对F（x）求导数，得F′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，
∵f′（x）＞

f(x)

x

，x＞0，∴xf′（x）＞f（x），即xf′（x）-f（x）＞0，
∴F′（x）＞0，
故F（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）∵x₁＞0，x₂＞0，∴0＜x₁＜x₁+x₂．
由（Ⅰ），知F（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数，
∴F（x₁）＜F（x₁+x₂），即

f(x1)

x1

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，
∵x₁＞0，∴f（x₁）＜

x1

x1+x2

f（x₁+x₂），
同理可得f（x₂）＜

x2

x1+x2

f（x₁+x₂），
以上两式相加，得f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：
设x₁，x₂，…，x_n∈（0，+∞），其中n≥2，则f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+…+x_n）．
∵x₁＞0，x₂＞0，…，x_n＞0，
∴0＜x₁＜x₁+x₂+…+x_n．
由（Ⅰ），知F（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数，
∴F（x₁）＜F（x₁+x₂+…+x_n），即

f(x1)

x1

＜

f(x1+x2+…+xn)

x1+x2+…+xn

．
∵x₁＞0，
∴f（x₁）＜

x1

x1+x2+…+xn

f（x₁+x₂+…+x_n）．
同理可得
f（x₂）＜

x2

x1+x2+…+xn

f（x₁+x₂+…+x_n），
f（x₃）＜

x3

x1+x2+…+xn

f（x₁+x₂+…+x_n），
…
f（x_n）＜

xn

x1+x2+…+xn

f（x₁+x₂+…+x_n），
以上n个不等式相加，得f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+…+x_n）．

点评：本题考查导数的一个应用--求函数的单调性，同时重点考查函数单调性及应用，考查推理能力，是一道中档题．