Question

设双曲线F：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，F1，F2为双曲线F的焦点．若双曲线F存在点M，满足

1

2

|MF1|=|MO|=|MF2|（O为原点），则双曲线F的离心率为（　　）

• A、

  3

• B、

  5

• C、

  6

• D、

  5

  -1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设条件结合双曲线性质推导出|MF₁|=4a，|MO|=|MF₂|=2a，取OF₂的中点N，连结MN，得到MN⊥F₁F₂，且ON=

c

2

，F₁N=

3

2

c，把x=

c

2

代入双曲线F，求出MN=

b

2a

c2-4a2

，由此能求出双曲线的离心率．

解答： 双曲线F存在点M，满足

1

2

|MF1|=|MO|=|MF2|（O为原点），
∴|MF₁|=4a，|MO|=|MF₂|=2a，
取OF₂的中点N，连结MN，
则MN⊥F₁F₂，且ON=

c

2

，F₁N=

3

2

c，
把x=

c

2

代入双曲线F，
得

c2

4a2

-

y2

b2

=1，
解得MN=|y|=

b

2a

c2-4a2

，
∵|MF₁|²=|F₁N|²+|MN|²，
∴16a²=

9

4

c2+

b2

4a2

(c2-4a2)，
整理，得e⁴+4e²-60=0，
解得e²=6，或e²=-10（舍），
∴e=

6

．
故选：C．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．