Question

设无穷数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n（n∈N^*），且点（S_n-1，S_n）（n∈N^*，n≥2）在直线（2t+3）x-3ty+3t=0上（t为与n无关的正实数）．
（1）求证：数列{a_n}（n∈N^*）为等比数列；
（2）记数列{a_n}的公比为f（t），数列{b_n}满足b₁=1，b_n=f（

1

bn-1

）（n∈N^*，n≥2），
设c_n=b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）（理）若（1）中无穷等比数列{a_n}（n∈N^*）的各项和存在，记S（t）=a₁+a₂+…+a_n+…，求函数S（t）的值域．

Answer 1

考点：数列的应用,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据点（S_n-1，S_n）（n∈N^*，n≥2）在直线（2t+3）x-3ty+3t=0（t为与n无关的正实数）上，可得（2t+3）S_n-1-3tS_n+3t=0，再写一式，两式相减，化简即可证明数列{a_n}（n∈N^*）为等比数列；
（2）确定数列{b_n}是公差d=

2

3

的等差数列，再根据c_n=b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1，即可求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）先确定t的范围，再利用无穷等比数列的求和公式，即可求函数S（t）的值域．

解答： （1）证明：因为点（S_n-1，S_n）（n∈N^*，n≥2）在直线（2t+3）x-3ty+3t=0（t为与n无关的正实数）上，
所以（2t+3）S_n-1-3tS_n+3t=0，
即有3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（n∈N^*，n≥2）．
当n=2时，3t（a₁+a₂）-（2t+3）a₁=3t．
由a₁=1，解得a₂=

2t+3

3t

，
所以

a2

a1

=

2t+3

3t

，
当n≥2时，有3tS_n+1-（2t+3）S_n=3t①
3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t②
①-②，得 3ta_n+1-（2t+3）a_n=0，
整理得

an+1

an

=

2t+3

3t

．
所以数列{a_n}是公比为

2t+3

3t

的等比数列；…（4分）
（2）解：由（1）知，f（t）=

2t+3

3t

=

2

3

+

1

t

，则b_n=f（

1

bn-1

）=b_n-1+

2

3

，
于是数列{b_n}是公差d=

2

3

的等差数列，即b_n=

2

3

n+

1

3

，…（7分）
则T_n=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=-2d（b₂+b₄+…+b_2n）=-

8

9

n2-

4

3

n…（10分）
（3）解：（理）由0＜

2t+3

3t

＜1解得：t＞3．…（12分）
所以S=

a1

1-q

=

3t

t-3

=3+

9

t-3

＞3
所以函数S（t）的值域为（3，+∞）．…（16分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列、等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．