Question

已知函数f(x)=

|log2(x+1)|，-1＜x＜0 -x2+4x，x≥0

，且关于x的方程f（x）-m=0，（m∈R）恰有三个互不相同的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁x₂x₃的取值范围是（　　）

• A、（-4，0）
• B、(-

  15

  4

  ，0)
• C、[-

  15

  4

  ，0)
• D、[-4，0）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：先确定0＜m＜4，当m=4时，确定x₁的范围，利用x₂，x₃关于x=2对称，结合配方法，可得0＜x₂x₃＜4，从而可求x₁x₂x₃的取值范围．

解答： 解：依题意得关于x的方程f（x）-m=0，（m∈R）恰有三个互不相同的实数根x₁，x₂，x₃，则
∵x≥0，f（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，∴0＜m＜4，
当m=4时，由log₂（x₀+1）=-4，∴x0=-

15

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，∴x1∈(-

15

16

，0)，
又x₂，x₃关于x=2对称，则x₂+x₃=4，x2x3=x2(4-x2)=-(x2-2)2+4，
∴0＜x₂x₃＜4，
∴-

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4

＜x₁x₂x₃＜0．
故选B．

点评：本题考查分段函数的运用，考查方程根，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．