Question

函数f1(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的一段图象过点（0，1），如图所示．
（Ⅰ）求函数f₁（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f₁（x）的图象按向量

a

=(

π

4

，0)平移，得到函数y=f₂（x），求y=f₁（x）+f₂（x）的最大值，并求此时自变量x的集合．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由周期求出ω，根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求φ，点（0，1）代入函数解析式求得A，可得函数的解析式．
（2）先求得函数y=f₂（x）的解析式，可得y=f₁（x）+f₂（x）的解析式，从而求得y=f₁（x）+f₂（x）的最大值，以及此时自变量x的集合．

解答： 解 （Ⅰ）  由图知：T=

5π

12

-(-

π

12

)=π，于是ω=2．
由图象可得将函数y=Asinωx的图象向左平移

π

12

，得y=Asin（2x+φ）的图象，则φ=2×

π

12

=

π

6

．
将（0，1）代入y=Asin(2x+

π

6

)得A=2；故f1(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（Ⅱ） 依题意：f2(x)=2sin[2(x-

π

4

)+

π

6

]=-2cos(2x+

π

6

)，
故，y=2sin(2x+

π

6

)-2cos(2x+

π

6

)=2

2

sin(2x-

π

12

)，
当2x-

π

12

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

7π

24

，k∈Z时，ymax=2

2

，
此时，x的取值集合为{x|x=kπ+

7π

24

，k∈Z}．

点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．