已知定义域为[0,1]的函数同时满足以下三个条件:①对任意x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
(1)求f(0)的值;
(2)函数g(x)=2x-1在区间[0,1]上是否同时适合①②③?并予以证明;
(3)假定存在x∈[0,1],使得f(x)∈[0,1],且f(f(x))=x,求证:f(x)=x.
【答案】
分析:(1)由①知:f(0)≥0;由③知f(0)≤0,从而得到f(0)=0.
(2)由题设知g(1)=1;由x∈[0,1]知2
x∈[1,2],得g(x)∈[0,1],有g(x)≥0;设x
1≥0,x
2≥0,x
1+x
2≤1,则
,
;由此能够证明函数g(x)=2
x-1在区间[0,1]上同时适合①②③.
(3)若f(x
)>x
,则由题设知f(x
)-x
∈[0,1],且由①知f[f(x
)-x
]≥0,由此入手能证明f(x
)=x
.
解答:解:(1)由①知:f(0)≥0;由③知:f(0+0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0;
∴f(0)=0
(2 ) 证明:由题设知:g(1)=2-1=1;
由x∈[0,1]知2
x∈[1,2],得g(x)∈[0,1],有g(x)≥0;
设x
1≥0,x
2≥0,x
1+x
2≤1,则
,
;
∴
即g(x
1+x
2)≥g(x
1)+g(x
2)
∴函数g(x)=2
x-1在区间[0,1]上同时适合①②③.
(3)证明:若f(x
)>x
,则由题设知:f(x
)-x
∈[0,1],且由①知f[f(x
)-x
]≥0,
∴由题设及③知:x
=f(f(x
))=f[(f(x
)-x
)+x
]=f[f(x
)-x
]+f(x
)≥f(x
)
矛盾;
若f(x
)<x
,则则由题设知:x
-f(x
)∈[0,1],且由①知f[x
-f(x
)]≥0,
∴同理得:f(x
)=f[(x
-f(x
))+f(x
)]=f[x
-f(x
)]+f(f(x
))≥f(f(x
))=x
,矛盾;
故由上述知:f(x
)=x
.
点评:本题考查函数值的求法和函数恒成立问题的应用,解题时要认真审题,仔细解答.