Question

【题目】如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD． （Ⅰ）证明：BM⊥平面SMC；
（Ⅱ）若SB与平面ABCD所成角为 ，N为棱SC上的动点，当二面角S﹣BM﹣N为 时，求 的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，SM⊥AD ∴SM⊥平面ABCD，又BM平面ABCD
∴SM⊥BM
又AM=AB，DM=DC
∴∠BMA=∠DMC= ，
∴∠BMC= ，即CM⊥BM，
又SM平面SMC，MC平面SMC，SM∩MC=M，
∴BM⊥平面SMC．
（Ⅱ）∵SM⊥平面ABCD，∴∠SBM为SB与平面ABCD所成的角，
∴∠SBM= ．∴SM=BM．
由（1）得BM⊥平面SMC，∵MN平面SMC，
∴BM⊥MN，又BM⊥SM，
∴∠SMN为二面角S﹣BM﹣N的平面角．即∠SMN= ．
设AB=1，则SM=BM= ，DM=DC=3，∴MC=3 ．
∴SC= =2 ．sin∠MSN= ．cos∠MSN= ．
∴sin∠SNM=sin（∠MSN+∠SMN）= = ．
在△SMN中，由正弦定理得 = ，
∴SN= = ．
∴ ，∴ ．
【解析】（I）利用平面几何知识证明BM⊥MC，结合SM⊥平面ABCD可得SM⊥BM，于是BM⊥平面SMC；（II）设AB=1，利用∠SBM= ，∠SMN= 可求出SM，SC，在△SMN中使用正弦定理求出SN，即可得出 的值．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．