Question

【题目】已知数列{bn}满足bn=3bn﹣1+2（n≥2），b1=1．数列{an}的前n项和为Sn ， 满足Sn=4an+2
（1）求证：{bn+1}是等比数列并求出数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的通项公式和前n项和公式．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵数列{bn}满足bn=3bn﹣1+2（n≥2），b1=1．

∴bn+1=3（bn﹣1+1），∴数列{bn+1}是等比数列，首项为2，公比为3，

∴bn+1=2×3n﹣1，即bn=2×3n﹣1﹣1

（2）解：∵Sn=4an+2，∴n=1时，a1=4a1+2，解得a1=- ．

n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4an+2﹣（4an﹣1+2），化为：an= an﹣1，

∴数列{an}是等比数列，首项为﹣ ，公比为 ．

∴an=﹣ × ．

Sn=﹣4× × +2=﹣ +2

【解析】（1）数列{bn}满足bn=3bn﹣1+2（n≥2），b1=1．变形为：bn+1=3（bn﹣1+1），利用等比数列的定义通项公式即可得出．（2）利用递推关系可得数列{an}是等比数列，利用等比数列的通项公式及其求和公式即可得出．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．