Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+ （x＞0）．
（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值范围；
（2）确定m的取值范围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g（x）=x+ ≥2 =2e；

（当且仅当x= ，即x=e时，等号成立）

∴若使函数y=g（x）﹣m有零点，

则m≥2e；

故m的取值范围为[2e，+∞）

（2）解：令F（x）=g（x）﹣f（x）

=x+ +x2﹣2ex﹣m+1，

F′（x）=1﹣ +2x﹣2e=（x﹣e）（ +2）；

故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0；

故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，

故只需使F（e）＜0，

即e+e+e2﹣2e2﹣m+1＜0；

故m＞2e﹣e2+1

【解析】（1）由基本不等式可得g（x）=x+ ≥2 =2e，从而求m的取值范围；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x+ +x2﹣2ex﹣m+1，求导F′（x）=1﹣ +2x﹣2e=（x﹣e）（ +2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值范围．