Question

【题目】如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．

（Ⅰ）求证：AC⊥FB

（Ⅱ）求二面角E﹣FB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由题意结合线面垂直的判定定理可证得AC⊥平面FCB，据此有AC⊥FB．

(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角E﹣FB﹣C的大小为.

试题解析：

（Ⅰ）证明：由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，

∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，

∵四边形CDEF为正方形．∴DC⊥FC

由DC∩AD=D ∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC

又∵四边形ABCD为直角梯形，

AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4

∴， ，则有AC2+BC2=AB2∴AC⊥BC

由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB．

（Ⅱ）解：由（I）知AD，DC，DE所在直线相互垂直，故以D为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz…

可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），

E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），

由（Ⅰ）知平面FCB的法向量为

∵， …

设平面EFB的法向量为则有即

令则

设二面角E﹣FB﹣C的大小为θ，有图易知为锐角

所以二面角E﹣FB﹣C的大小为…