Question

（本小题满分14分）

设函数

（I）当时，求函数的单调区间；

（II）若对任意恒成立，求实数的最小值；

（III）设是函数图象上任意不同两点，线段AB中点为C，直线AB的斜率为k.证明：.

Answer 1

（Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为; （Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析

【解析】

试题分析：(I)将代入函数解析式，可得根据导数在函数单调性中的应用，即可求出的单调递增，递减区间． (Ⅱ)由题意知：，在时恒成立，即在区间上恒成立，又，利用分离参数法，可得 在区间上恒成立．构造辅助函数，再利用函数的单调性，即可求出结果；(Ⅲ) 由于，又，所以 ，即证，不妨设，即证：，即证：，设，即证：，构造辅助函数，利用函数的单调性即可证明结果.

试题解析：(I)当时，

当时，单调递减；

当时，单调递增，

综上，的单调递增区间为，单调递减区间为．

(Ⅱ)由题意知：，在时恒成立，

即在区间上恒成立，

又， 在区间上恒成立．

设，，

又令，则

当时，单调递减，

，即在区间恒成立，

所以在区间单调递增，，

故．

(Ⅲ)证明：又

所以 ，即证

不妨设，即证：，

即证：，设，即证：，

也就是要证：，其中

事实上：设，

则

所以在单调递增，因此，即结论成立．

考点：1.导数在函数单调性中的应用；2. 导数在函数最值的应用；3. 导数证明不等式中的应用.