Question

15．已知A（3，0），B（0，3）C（cosα，sinα）．
（1）若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-1，求sin（α+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）若|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{13}$，且α∈（0，π），求$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）由题意利用两个向量的数量积公式可得 $\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=1-3（sinα+cosα）=-1，求得sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，可得sin（α+$\frac{π}{4}$）的值．
（2）求出 $\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=（3+cosα，sinα），则由题意可得 $\sqrt{{（3+cosα）}^{2}{+sin}^{2}α}$=$\sqrt{13}$，化简求得cosα 的值，可得α 的值．设$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为θ，由cosθ=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OB}|•|\overrightarrow{OC}|}$ 的值，求得θ的值．

解答 解：（1）由题意可得 $\overrightarrow{AC}$=（cosα-3，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-3），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=（cosα-3，sinα）•（cosα，sinα-3）=cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=1-3（sinα+cosα）=-1，
∴sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，即 $\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2}{3}$，求得sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=（3+cosα，sinα），若|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{13}$，且α∈（0，π），
则有 $\sqrt{{（3+cosα）}^{2}{+sin}^{2}α}$=$\sqrt{13}$，化简求得cosα=$\frac{1}{2}$，∴α=$\frac{π}{3}$．
设$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为θ，cosθ=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OB}|•|\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{3sinα}{3×1}$=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=$\frac{π}{6}$，
即$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，求向量的模，属于基础题．